はじめに

家の浴槽で、風呂桶を湯船に沈めて遊んだ経験は、誰しも一度はあるのではないだろうか。
最近、子どもと風呂に入っているとき、久しぶりにその遊びをした。

いつもは桶の中にできるだけ空気を閉じ込め、そのまま持ち上げて抵抗を感じて終わりである。

ところが遊び心で、桶の中の空気量を変えてみると、どうも抵抗の強さが違うことに気づいた。

直感的には、

「最初に入っている空気が多いほど、圧力差も大きくなり、抵抗は最大になるはずだ」

と思っていた。

しかし実際には、空気だけのときよりも、少し水が入っていた方が明らかに重い。

では、さらに水を入れたらどうだろうか？

ところが、水を多く入れすぎると、また抵抗は弱くなる。

何度か試してみると、

空気と水がだいたい半分くらいのときが、最も持ち上げにくい

ように感じられた。

どうやら私の直感は外れていたらしい。物理のセンスがないだけかもしれない。

子どもに説明しても、うまく理由を説明できなかった。

せっかくなので一度、きちんと考えてみることにした。
こういう時こそAIに頼るしかない。

小学生レベル：空気のおへやの話

風呂桶を逆さにすると、中には空気のおへやができる。

桶を上に引くと、

• 空気は「広がりたい」
• 水は「下から押したい」

この押し合いで、桶は重く感じる。

• 空気が多すぎる → おへやが大きすぎて、あまり変わらない
• 空気が少なすぎる → すぐ水が入る
• ちょうどいい → いちばんイヤがられる

だから半分くらいが一番重い。

（※正直、これだけではまだ少し分かりにくい）

中学生レベル：圧の差で引き止められる

ここで「圧（あつ）」を考える。

• 外（お湯）は強く押す
• 中（空気）は逃げられず弱くなる

すると、

外 − 中 の圧の差

が生まれ、それが桶を引き止める力になる。

重要なのは、

圧そのものではなく、圧の差が効いている

という点である。

まだよくわからん

高校生レベル：ボイルの法則

温度が一定で、空気の量が同じなら、

圧力 × 体積 = 一定

（ボイルの法則）

記号の定義

初期状態：

• 圧力：P₀
• 体積：V₀

少し持ち上げた後：

• 体積：V₀ + ΔV
• 圧力：P

圧力差（低下量）：

ΔP = P₀ − P

抵抗の力：

F = ΔP × A

（A：桶の開口部の面積）

数式による導出

1. ボイルの法則

P₀ V₀ = P (V₀ + ΔV)

2. 圧力 P を解く

P = (P₀ V₀) / (V₀ + ΔV)

3. 圧力差を作る

ΔP = P₀ − P
= P₀ − (P₀ V₀)/(V₀ + ΔV)

整理すると、

ΔP = P₀ × ΔV / (V₀ + ΔV)

微小変化の近似（ΔV ≪ V₀）

ΔP ≈ P₀ × ΔV / V₀

したがって、

ΔP ∝ 1 / V₀

つまり、

• 空気が多い → 圧は下がりにくい
• 空気が少ない → 圧は急激に下がる

理論上は「空気は少ないほど良い」ことになる。

ギリギリここまで理解はできたのだが・・・

しかし現実は違う

実際には、

• 空気が少なすぎる → すぐ水が侵入して破綻する
• 力が持続しないので重さを感じない

ここが重要なポイントである。これは実際に風呂場で実験した

以下は完全にchatGPTに投げた、あってるかもよくわからないが、記載しておく

いつか理解したいと思う・・・あってるのかもよくわからんがgeminiも聞いたので大きくは外れてないと思われる

空気量がゼロに近づくときの極限

初期の空気量 V₀ を限りなく小さくした場合を考える。

lim (V₀ → 0) ΔP
= lim (V₀ → 0) P₀ × ΔV / (V₀ + ΔV)
= P₀ × ΔV / ΔV
= P₀

すなわち，

理論上，空気量を極端に小さくすると圧力差は最大値 P₀ に近づく。

これは「外の水圧そのもの」に等しい。

理想的な条件では，

・空気量が少ないほど圧力差は単調に増加し最大値は P₀ になる

したがって純粋な物理学の結論は，

「空気は少なければ少ないほど有利」

というものである。

しかし現実には「崩壊条件」がある

実際の風呂桶では，縁や水と空気の境界が耐えられる圧力差には限界がある。

この最大許容圧力差を

ΔP_capと書くと，

ΔP ≥ ΔP_cap ⇒ 浸水・崩壊が起こる。

通常，ΔP_cap < Pであるため，

理論上の最大値 P₀ に達する前に必ず破綻する。

極限と「体感の重さ」のズレ

人が感じる重さは，瞬間の圧力差ではなく，

力 × 時間（力積）

で決まる。

力を F(t) とすると，

体感 ∝ ∫ F(t) dt
= A × ∫ ΔP(t) dt

（A：桶の開口面積）

空気量が極端に少ない場合

・ΔP(t) はほぼ瞬時に ΔP_cap に達する
・しかし崩壊までの時間 t_end は極端に短い

したがって，

∫ F(t) dt ≈（大きな力）×（極めて短い時間）

となり，体感はむしろ小さくなる。

中程度の空気量の場合

・圧力差は十分大きい
・しかも一定時間持続する

ため，

∫ F(t) dt が最大になり，

人はこの状態を「一番重い」と感じる。

極限を含めた最終結論

物理学的最大値：

lim (V₀ → 0) ΔP = P₀

体感的最大値：

max ∫ F(t) dt は V₀ が中程度のとき

この2つは一致しない。

むずい・・・

まとめ

風呂桶では，理論上は空気が少ないほど圧力差は大きくなるが，実際には界面が壊れてしまい持続しない。人が感じる重さは「力の大きさ」ではなく「力がどれだけの時間続いたか」で決まるため，

空気が中くらいのときに最も重く感じられる。

結論　風呂桶の人が感じる「重さ」の正体

瞬間の力 ではなく
力 × 時間（力積）

で決まる。力を F(t) とすると、

体感 ∝ ∫ F(t) dt

風呂桶の定理（The Bathtub Theorem）を考えてみた

物体を液体から引き上げる際に人間が感じる手応えは、

最大圧力差ではなく
圧力差の時間積分（力積）で決まる。

3つのフェーズ

最後はよくわからん理論を書いたのだが、おけに水が入っている方が実際の抵抗は強くなるという風呂場の実験は理論的にも正しそうである

以上参考になれば幸いです